Question

【題目】已知函數有極值，且導函數的極值點是的零點。（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）

求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；

證明：b>3a;

若， 這兩個函數的所有極值之和不小于，求a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1），定義域為.（2）見解析（3）.

【解析】試題分析：（1）先求導函數的極值： ，再代入原函數得，化簡可得，根據極值存在條件可得；（2）由（1）得，構造函數，利用導數研究函數單調性，可得，即；（3）先求證的兩個極值之和為零，利用根與系數關系代入化簡即得，再研究導函數極值不小于，構造差函數，利用導數研究其單調性， 在上單調遞減．而，故可得的取值范圍．

試題解析：解：（1）由，得.

當時， 有極小值.

因為的極值點是的零點.

所以，又，故.

因為有極值，故有實根，從而，即.

時， ，故在R上是增函數， 沒有極值；

時， 有兩個相異的實根， .

列表如下

x
	+	0	–	0	+
		極大值		極小值

故的極值點是.

從而，

因此，定義域為.

（2）由（1）知， .

設，則.

當時， ，從而在上單調遞增.

因為，所以，故，即.

因此.

（3）由（1）知， 的極值點是，且， .

從而

記， 所有極值之和為，

因為的極值為，所以， .

因為，于是在上單調遞減.

因為，于是，故.

因此a的取值范圍為.

點睛:涉及函數的零點問題、方程解的個數問題、函數圖象的交點個數問題，一般先通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數的性質，如單調性、極值，然后通過數形結合的思想找到解題的思路．