Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣x+3． （Ⅰ）求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣1， ∴f'（x）=3x2﹣1，在x=1處的切線斜率k=312﹣1=2，
又∵f（1）=13﹣1+3=3，
∴切線方程為y﹣3=2（x﹣1）化簡得2x﹣y+1=0，
（Ⅱ）∵f'（x）=3x2﹣1=3（x﹣ ）（x+ ），
令f'（x）=0，解得x= ，或x=﹣ ，
當x∈（﹣∞，﹣ ）或x∈（ ，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調增區(qū)間為（﹣∞，﹣ ）和（ ，+∞）
【解析】（Ⅰ）根據導數的幾何意義求出函數在x=1處的導數，從而得到切線的斜率，再利用點斜式方程寫出切線方程即可．（Ⅱ）求出函數的導數，判斷導函數的符號，從而求出函數的單調增區(qū)間．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減．