Question

已知雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，橢圓C以該雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點．
（1）當a=

3

，b=1時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l：y=kx+

1

2

與y軸交于點P，與橢圓交與A，B兩點，若O為坐標原點，△AOP與△BOP面積之比為2：1，求直線l的方程；
（3）若a=1，橢圓C與直線l'：y=x+5有公共點，求該橢圓的長軸長的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓C以該雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點，設橢圓方程，將a=

3

，  b=1代入，可得橢圓C的方程；
（2）根據題意，設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），聯立橢圓和直線的方程，利用韋達定理及x₁=-2x₂，即可求直線l的方程；
（3）聯立橢圓和直線的方程，利用判別式大于等于0，即可求得結論．

解答：解：（1）設雙曲線的焦點為（±c，0）（c＞0），則橢圓C的方程為

x2

c2

+

y2

b2

=1，其中c²=a²+b²
將a=

3

，  b=1代入，可得橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）根據題意，設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則|x₁|：|x₂|=2：1，可知．
聯立橢圓和直線的方程，得

x2 4 +y2=1 y=kx+ 1 2

，消元得(k2+

1

4

)x2+kx-

3

4

=0，可知x1+x2=

-k

k2+ 1 4

，x1x2=

- 3 4

k2+ 1 4

，即x₁與x₂異號，所以x₁=-2x₂．
代入上式，得-x2=

-k

k2+ 1 4

，  -2

x

2 2

=

- 3 4

k2+ 1 4

，消元，得k=±

15

10

．
所以直線方程為l：y=±

15

10

x+

1

2

（3）聯立橢圓和直線的方程，得方程組

x2 c2 + y2 b2 =1 y=x+5

，其中c²=b²+1
消去y，可得（

1

b2+1

+

1

b2

）x²+

10

b2

x+

25

b2

-1=0
∴△=(

10

b2

)2-4(

1

b2+1

+

1

b2

)(

25

b2

-1)≥0，
解得b²≥12，所以c²≥13，當且僅當b=2

3

，  c=

13

時長軸長最短，是2

13

．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．