Question

（理科）已知函數f（x）滿足對任意的x∈R都有f（

2

5

+x）+f（

3

5

-x）=2成立，則f（

1

8

）+f（

2

8

）+…+f（

7

8

）=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：由題意得兩個式子相加可得[f（

1

8

）+f（

7

8

）]+[f（

2

8

）+f（

6

8

）]+…+[f（

7

8

）+f（

1

8

）]=2M，通過f（

2

5

+x）+f（

3

5

-x）=2，求解即可．

解答： 解：設f（

1

8

）+f（

2

8

）+…+f（

7

8

）=M…①
所以f（

7

8

）+f（

6

8

）+…+f（

1

8

）=M…②
①+②可得[f（

1

8

）+f（

7

8

）]+[f（

2

8

）+f（

6

8

）]+…+[f（

7

8

）+f（

1

8

）]=2MM
因為函數f（x）滿足對任意的x∈R都有f（

2

5

+x）+f（

3

5

-x）=2成立
所以14=2M即M=7
所以f（

1

8

）+f（

2

8

）+…+f（

7

8

）=7
故答案為：7．

點評：本題考查了利用函數的對稱性求和，解決本題的關鍵是發現函數與和式的對稱性，利用倒敘相加法求和．此法在數列部分常見，也是一種求和的重要方法．