Question

【題目】已知數列滿足，且，．

（Ⅰ）求證：數列是等比數列；

（Ⅱ）設是數列的前項和，若對任意的都成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：

(1)利用題中的遞推關系計算可得后項與前項的比值為定值，計算首項為即可證得數列為等比數列；

(2)原問題轉化為對任意的都成立，分類討論可得：實數的取值范圍是．

試題解析：

（Ⅰ）因為，，，

所以，

所以，

又，

所以數列是首項為，公比為的等比數列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即，

則

．

又 ，

要使對任意的都成立，

即（*）對任意的都成立．　

①當為正奇數時，由（*）得，，

即，

因為，

所以對任意的正奇數都成立，

當且僅當時，有最小值1，

所以．

②當為正偶數時，由（*）得，

，

即，

因為，

所以對任意的正偶數都成立．

當且僅當時，有最小值，所以．

綜上所述，存在實數，使得對任意的都成立，

故實數的取值范圍是．