Question

已知f(x)=lnx，g(x)=

3

2

-

a

x

，(a∈R)
①若方程e^2f（x）=g（x）在區間[

1

2

，1]上有解，求a的取值范圍；
②若函數h(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)f(x)(a≥1)，討論函數h（x）的單調性．

Answer 1

分析：①由條件分離參數，可轉化為a=

3

2

x-x3在x∈[

1

2

，1]上有解，利用導數法求出函數的值域，即可得到結論；
②求導函數，比較根的大小，即可分類討論，得到函數的單調性．

解答：解：①由由已知，x2=

3

2

-

a

x

在x∈[

1

2

，1]上有解，

a

x

=

3

2

-x2在x∈[

1

2

，1]上有解
∴a=

3

2

x-x3在x∈[

1

2

，1]上有解，
令p(x)=

3

2

x-x3，x∈[

1

2

，1]則 p′(x)=

3

2

-3x2=-3(x+

2

2

)(x-

2

2

)，
∴函數p（x）在（

1

2

，

2

2

）上單調遞增，在（

2

2

，1）上單調遞減
∴p(x)max=p(

2

2

)=

2

2

∵p(

1

2

)=

5

8

，p(1)= 1 2

，∴p(x)min=p(1)=

1

2

∴a∈[

1

2

，

2

2

]…（6分）
②h′(x)=

[x-(a-1)](x-1)

x

，x∈（0，+∞）
（1）a=1時，遞減區間（0，1），遞增區間（1，+∞）；
（2）1＜a＜2時，遞增區間（0，a-1），（1，+∞），遞減區間（a-1，1）；
（3）a=2時，遞增區間（0，+∞）；
（4）a＞2時，遞增區間(0，1)，

(a-1，+∞)

，遞減區間　（1，a-1）…（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．