Question

已知f(x)=lnx-

a

x

．
（I）當a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調性；
（II）若f（x）在[1，e]（e是自然對數的底）上的最小值為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的定義域，、導數f′（x），當a＞0時易判斷導數符號，從而得其單調性；
（II）求出f（x）在[1，e]上的最小值，令其為

3

2

，解出即可，其最小值分情況進行討論：當a≥0時據單調性易求最小值；當a＜0時，令f′（x）=0得x=

1

a

，再按照

1

a

在區間[1，2]外、內兩種情況利用單調性即可求得最小值．

解答：解：由題意得x＞0，所以定義域為（0，+∞），且f′(x)=

1

x

+

a

x2

．
（I）顯然，當a＞0時，f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在定義域上單調遞增；
（II）當a＞0時，由（I），得f（x）在定義域上單調遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值為f（1），即f（1）=

3

2

⇒-a=

3

2

⇒a=-

3

2

（與a＞0矛盾，舍）；
當a=0時，f（x）=lnx，顯然在[1，e]上單調遞增，最小值為0，不合題意；
當a＜0時，f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
若x∈（0，-a），則f′（x）＜0，f（x）單調遞減，若x=-a，則f′（x）=0，
若x∈（-a，+∞），則f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當-a≤1即-1≤a＜0時，f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，⇒a=-

3

2

（舍），
當1＜-a＜e即-e＜a＜-1時，f（x）_min=f（-a）=1+ln（-a）=

3

2

⇒a=-e

1

2

（滿足題意），
當-a≥e即a≤-e時，f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，⇒a=-

e

2

（舍），
綜上所述，a=-e

1

2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及在閉區間上的最值，考查分類討論思想，屬中檔題．