Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．

（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；

（Ⅱ）求證：當a≤0時，曲線y=f（x）上任意一點處的切線與該曲線只有一個公共點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍．求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）根據函數的單調性以及a的范圍證明即可．

（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），

設g（x）=2ax2-x+1（x＞0），

（1）當0＜a＜時，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，

在（，）上小于零，

所以f（x）在（0，），（，+∞）上遞增，

在（，）上遞減，

（2）當a≥時，g（x）≥0（當且僅當a=，x=2時g（x）=0），

所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

（3）當a=0時，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，

所以f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，

（4）當a＜0時，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，

所以f（x）在（0，）上遞增，在（，+∞）上遞減；

（Ⅱ）曲線y=f（x）在點（t，f（t））處的曲線方程為：

y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，

曲線方程和y=f（x）聯立可得：

lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，

設h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），

h′（x）=，

當a≤0時，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，

故h（x）在（0，t）遞增，在（t，+∞）遞減，

又h（t）=0，

故h（x）只有唯一的零點t，

即切線與該曲線只有1個公共點（t，f（t））．