Question

【題目】已知橢圓C：上頂點為A，右頂點為B，離心率，O為坐標原點，原點到直線AB的距離為．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）直線與橢圓C相交于E、F兩不同點，若橢圓C上一點P滿足．求△EPF面積的最大值及此時的．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的面積的最大值為.

【解析】

（1）設出直線的方程為：：，原點到直線的距離為，列出關系式， 通過，利用離心率，求出，，得到橢圓的標準方程．

（2）聯立直線與橢圓方程， 設，，，，利用韋達定理， 以及弦長公式， 點到直線的距離，，利用二次函數的最值， 求解的面積的最大值，以及的值

（1）由題意，，則，①

∵A（0，b），B（a，0），則直線AB的方程為：，即為，

∵原點到直線AB的距離為，

∴，

∴，②

∵，③

由①②③得：，

所以橢圓C的標準方程為：；

（2）由可得：，

設，，

則，，

∴

又點O到直線EF的距離，

∵，

∴

又因為，又，∴，

令，則，

所以當時，最大值為：

所以當時，△EPF的面積的最大值為．