Question

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的離心率 ，且點 在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓E交于A、B兩點，且線段AB的垂直平分線經過點 ．求△AOB（O為坐標原點）面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，e= = ，a2﹣b2=c2 ， ∵點 在橢圓上，
∴ ，解得a=2，b=1．
∴橢圓方程為 ；
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
∵AB的垂直平分線過點 ，∴AB的斜率k存在．
當直線AB的斜率k=0時，x1=﹣x2 ， y1=y2 ，
∴S△AOB= 2|x||y|=|x|
= ≤ =1，
當且僅當x12=4﹣x12 ， 取得等號，
∴ 時，（S△AOB）max=1；
當直線AB的斜率k≠0時，設l：y=kx+m（m≠0）．
消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△＞0可得4k2+1＞m2①，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ，可得 ，
，
∴AB的中點為 ，
由直線的垂直關系有 ，化簡得1+4k2=﹣6m②
由①②得﹣6m＞m2 ， 解得﹣6＜m＜0，
又O（0，0）到直線y=kx+m的距離為 ，
，

= ，
∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3時， ．
由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得 ；
即 時，（S△AOB）max=1；
綜上：（S△AOB）max=1．
【解析】（Ⅰ）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），討論直線AB的斜率為0和不為0，聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，結合基本不等式和二次函數的最值的求法，可得面積的最大值．