Question

【題目】設函數f（x）=x2﹣2tx+2，其中 t∈R．
（1）若t=1，求函數f（x）在區間[0，4]上的取值范圍；
（2）若t=1，且對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求實數a的取值范圍；
（3）若對任意的x1 ， x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當t=1時，f（x）=x2﹣2x+2，∴f（x）的對稱軸為x=1，

∴f（x）在[0，1]上單調遞減，在（1，4]上單調遞增，

∴當x=1時，f（x）取得最小值f（1）=1，當x=4時，f（x）取得最大值f（4）=10．

∴f（x）在區間[0，4]上的取值范圍是[1，10]

（2）解：∵f（x）＜5，∴x2﹣2x+2＜5，即x2﹣2x﹣3＜0，令g（x）=x2﹣2x﹣3，g（x）的對稱軸為x=1．

①若a+1≥1，即a≥0時，g（x）在[a，a+2]上的最大值為g（a+2）=a2+2a﹣3，

∵對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，

∴a2+2a﹣3＜0，解得0≤a＜1．

②若a+1＜1，即a＜0時，g（x）在[a，a+2]上的最大值為g（a）=a2﹣2a﹣3，

∵對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，

∴a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜0，

綜上，實數a的取值范圍是（﹣1，1）

（3）解：設函數f（x）在區間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，

所以“對任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等價于“M﹣m≤8”．

①當t≤0時，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．

由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．

從而 t∈．

②當0＜t≤2時，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．

由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得 ．，

③當2＜t≤4時，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．

由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2 ≤t≤2

2＜t≤2 ；

④當t＞4時，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．

由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．

從而 t∈．

綜上，t的取值范圍為區間[4﹣2 ，2 ]

【解析】（1）判斷f（x）在[0，4]上的單調性，根據單調性求出f（x）的最值，得出值域；（2）令g（x）=f（x）﹣5，根據對稱軸與區間[a，a+2]的關系求出g（x）的最大值，令gmax（x）＜0解出a的取值范圍．（3）設函數f（x）在區間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，對任意的x1 ， x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8等價于M﹣m≤8，結合二次函數的性質可求
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．