Question

【題目】一個圓柱形圓木的底面半徑為1 m，長為10 m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩部分．現要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形ABCD（如圖所示，其中O為圓心，C，D在半圓上），設，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．

（1）求V關于θ的函數表達式；

（2）求的值，使體積V最大；

（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， （2）（3）是

【解析】（1），.

則，.

（2）．

令，得，或（舍）．∵，∴．

當時，，，為增函數；

當時，，，為減函數．

∴當時，體積V最大．

（3）是，理由如下：

木梁的側面積，．

，．

設，，則，

∴當，即時，最大．又由（2）知時，取得最大值，所以時，木梁的表面積S最大．

綜上，當木梁的體積V最大時，其表面積S也最大．