Question

【題目】如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是，D是AC的中點。

（1）求證：B1C∥平面A1BD；

（2）求二面角A1-BD-A的大小；

（3）在線段AA1上是否存在一點E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）連結(jié)AB1交A1B于M，連結(jié)B1C，DM，由已知條件得四邊形AA1B1B是矩形，由三角形中位線能證明B1C∥平面A1BD．（2）作CO⊥AB于O，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用向量法能求出二面角A1-BD-A的大小．（3）設(shè)E（1，x，0），求出平面B1C1E的法向量，利用向量法能求出存在點E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，且AE＝

試題解析：

（1）連結(jié)AB1交A1B于M，連結(jié)DM，

因為三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，

所以四邊形AA1B1B是矩形，所以M為AB1的中點。

因為D是AC的中點，所以MD是三角形AB1C的中位線，

所以MD∥B1C。

因為MD平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD。

（2）作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，

所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz。

因為AB=2，AA1=，D是AC的中點。

所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0， ），A1（1， ，0），

所以D（，0， ），=（，0， ），=（2， ，0）。

設(shè)n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，

所以即，令x=-，則y=2，z=3，

所以n=（-，2，3）是平面A1BD的一個法向量。

由題意可知=（0， ，0）是平面ABD的一個法向量，

所以cos<n， >==。

由題知二面角A1-BD-A為銳角，所以它的大小為。

（3）設(shè)E（1，x，0），則=（1，x-，-），=（-1，0，-），

設(shè)平面B1C1E的法向量m=（x1，y1，z1），

所以即令z1=-，則x1=3，y1=，

m=（3， ，-），又m·n=0，即-3+-3=0，解得x=，

所以存在點E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且AE=。