Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足（其中為坐標原點），求整數的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最大整數值為1.

解析試題分析：：（1）由題意可得e=即c²= ∵以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓的方程為與直線相切．∴圓心到直線的距離d=b,
1=b∵a²=b²+c²∴a²=2，b=1∴橢圓C的方程為
(2)由題意知直AB的斜率存在． AB：y=k（x-2），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）代入橢圓方程，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，結合韋達定理以及，可知整數t的范圍是最大整數值為1.。
考點：橢圓的性質
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關系的應用，處理此類問題常用的方法是聯立方程，結合方程的思想進行求解