Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過F且斜率為

3

的直線交C于A、B兩點，若

AF

=4

FB

，則雙曲線C的離心率為______．

Answer 1

∵直線AB過點F（c，0），且斜率為

3

∴直線AB的方程為y=

3

（x-c）
與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1消去x，得（

1

3

b2-a²）y²+

2 3

3

b²cy+b⁴=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=

2 3 b2c

3a2-b2

，y₁y₂=

-3b4

3a2-b2

∵

AF

=4

FB

，可得y₁=-4y₂
∴代入上式得-3y₂=

2 3 b2c

3a2-b2

，-4y₂²=

-3b4

3a2-b2

消去y₂并化簡整理，得

4

3

c2=

3

4

(3a2-b2)
將b²=c²-a²代入化簡，得c2=

36

25

a2，解之得c=

6

5

a
因此，該雙曲線的離心率e=

c

a

=

6

5

故答案為：

6

5