Question

【題目】（本題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，已知兩點和，動點M滿足，設點M的軌跡為C，半拋物線：（），設點．

（Ⅰ）求C的軌跡方程；

（Ⅱ）設點T是曲線上一點，曲線在點T處的切線與曲線C相交于點A和點B，求△ABD的面積的最大值及點T的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設點，則可得向量的坐標，根據向量數量積公式可求得點的軌跡的軌跡方程．（Ⅱ）拋物線為，設（），對求導，根據導數的幾何意義可得在點處的切線的斜率，從而可得切線方程．將切線方程和曲線方程聯立消去整理為關于的一元二次方程．可知其判別式大于0，由韋達定理可得兩根之和，兩根之積．根據弦長公式可求得弦由點到線的距離公式可求得三角形的高，從而可得三角形面積．配方法可求得其最值及取最值時的值．

試題解析：解：（Ⅰ）設點，由，得，

所以的軌跡方程是；（4分）

（Ⅱ）拋物線為，設（），則，所以切線為：

，即，聯立，，

判別式△，設，，則，過點作軸的垂線交直線于點，于是，得，則，

故△ABD的面積，此時．（12分）