Question

【題目】已知函數，其中為常數，且.

（1）若是奇函數，求的取值集合；

（2）當時，設的反函數，且的圖象與的圖象關于對稱，求的取值集合；

（3）對于問題（1）（2）中的、，當時，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由求出實數的值，然后檢驗此時函數為奇函數，由此可得出集合；

（2）當時，由得，解得，可得出，然后解出方程可得出集合；

（3）原問題轉化為，恒成立，可得出或，由此能求出實數的取值范圍.

（1）由于函數為奇函數，且定義域為，則，

，，

由題意得，整理得，解得或.

，，則，定義域為，關于原點對稱，

，

此時，函數為奇函數，合乎題意，因此，；

（2）當時，由得，可得，得，

，所以，，

由于的圖象與的圖象關于對稱，

則為方程的實數解，解方程，即，

變形得，解得，即，因此，；

（3）令，

原問題轉化為在上恒成立，

則或，

即或，解得.

因此，實數的取值范圍是.