Question

【題目】給定橢圓C:(),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“衛星圓”.若橢圓C的離心率,點在C上.

(1)求橢圓C的方程和其“衛星圓”方程;

(2)點P是橢圓C的“衛星圓”上的一個動點,過點P作直線,使得,與橢圓C都只有一個交點,且,分別交其“衛星圓”于點M,N,證明:弦長為定值.

Answer 1

【答案】(1),;(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據題意列出再結合即可解出，，從而得到橢圓C的方程和其“衛星圓”方程；

(2) 根據分類討論，當有一條直線斜率不存在時(不妨假設無斜率)，可知其方程為或，這樣可求出；當兩條直線的斜率都存在時，設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，與橢圓方程聯立，由可得，所以線段應為“衛星圓”的直徑，即，故得證．

(1)由條件可得:

解得，

所以橢圓的方程為，

衛星圓的方程為

(2)①當，中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

當方程為時，此時與“衛星圓”交于點和，

此時經過點且與橢圓只有一個公共點的直線是

或，即為或，

∴

∴線段應為“衛星圓”的直徑，

∴

②當，都有斜率時，設點，其中，

設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

則，

消去y得到，

∴

∴

所以，滿足條件的兩直線，垂直．

∴線段應為“衛星圓”的直徑，∴

綜合①②知：因為，經過點，又分別交“衛星圓”于點，且，垂直，所以線段是“衛星圓”的直徑，∴為定值．