Question

【題目】已知函數，.

（1）討論的單調性；

（2）定義：對于函數，若存在，使成立，則稱為函數的不動點.如果函數存在不動點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

(1)對函數求導，結合二次函數的性質討論的范圍，即可判斷的單調性；(2)由存在不動點，得到有實數根，即有解，構造函數令，通過求導即可判斷的單調性，從而得到的取值范圍，即可得到的范圍。

(1)的定義域為，

對于函數，

①當時，即時，在恒成立.

在恒成立.

在為增函數；

②當，即或時，

當時，由，得或，，

在為增函數，減函數.

為增函數，

當時，由在恒成立，

在為增函數。

綜上，當時，在為增函數，減函數，為增函數；當時，在為增函數。

（2），

存在不動點，方程有實數根，即有解，

令，，

令，得，

當時，單調遞減；

當時，單調遞增；

，

當時，有不動點，

的范圍為.