Question

【題目】已知是定義在上的奇函數，且.

（1）求的解析式；

（2）判斷的單調性，并證明你的結論；

（3）解不等式 .

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上單調遞增，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據題意，由奇函數的性質可得，又由，可得的值，代入函數的解析式即可得答案；
（2）設，由作差法分析與的大小關系，結合函數單調性的定義，即可得結論；
（3）利用函數的奇偶性以及單調性，可以將轉化為，解可得的取值范圍，即可得答案．

（1）∵是上的奇函數，

∴，

∴，

又∵，

∴，解得，

∴；

（2）在上單調遞增，

證明：任意取，且，則

，

∵，

∴，，，，

∴，即，

∴在上單調遞增；

（3）∵，

∴，

易知是上的奇函數，

∴，

∴，

又由（2）知是上的增函數，

∴，

解得，

∴不等式的解集為.