Question

【題目】由實數組成的集合A具有如下性質：若，且，那么．

（1）試問集合A能否恰有兩個元素且？若能，求出所有滿足條件的集合A；若不能，請說明理由；

（2）是否存在一個含有元素0的三元素集合A；若存在請求出集合，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）能，或或

（2）存在，

【解析】

（1）若集合A能恰有兩個元素且，不妨設集合，分類討論，時，，則或； 時，，則或，分別求解，即可.

（2）若存在一個含有元素0的三元素集合A，因為集合A具有如下性質：若，且，那么，并且不能作為分母，所以，則且，即，不妨設集合且，分類討論，時，不成立；時，，則，求解即可.

（1）集合A能恰有兩個元素且.不妨設集合

當時，由集合A的性質可知，

則或，解得（舍）或，

所以集合

當時，由集合A的性質可知，

則或，解得或（舍）或

所以集合或

綜上所述：或或

（2）存在一個含有元素0的三元素集合A

由題意可知時，，，并且，,即

不妨設集合且

當時，由題意可知，，

若，即，解得或（舍），集合

若，不成立.

若，即（舍）

當時，由題意可知，，舍.

綜上所述，.