Question

【題目】已知函數，

(1)若,求函數的極值及單調區間；

(2)若在區間上至少存在一點,使成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 時， 有極小值,無極大值， 的單調遞增區間為，單調遞減區間為，(2)

【解析】試題分析：(1)當時,求得 ,根據和的解集，即可得到函數的單調區間；

(2)若在區間上存在一點,使得成立,轉化為在區間上的最小值小于0，當時, 在區間上的最小值為，進而根據和分類討論，即可確定實數的取值范圍.

試題解析：

(1)當時, ,令,解得,又函數的定義域為,由,得,由,得,所以時， 有極小值,無極大值，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為

(2)若在區間上存在一點,使得成立,即在區間上的最小值小于0. ,且,令,得到

當,即時, 恒成立,即在區間上單調遞減故

在區間上的最小值為，

由,得, ,當即時，

①若,則對成立,所以在區間上單調遞減

則在區間 上的最小值為,

顯然, 在區間的最小值小于0不成立.②若,即時,則有

	-	0	+
		極小值

所以在區間上的最小值為,由

,得,解得,即，

綜上,由①②可知, 符題意.