Question

【題目】已經函數的定義域為，設

（1）試確定的取值范圍，使得函數在上為單調函數

（2）求證

（3）若不等式（為正整數）對任意正實數恒成立，求的最大值.（解答過程可參考使用以下數據）

Answer 1

【答案】(1) (2)6（3）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數導數，令得或，所以在上遞增，所以要使在為單調函數，則；（2）由（1）知在處取得權小值，又，所以在的最小值為，從而當時， ，即；（3）等價于

即，記，則，由導數知在上單調遞減，在上單調遞增，所以， 對任意正實數恒成立，等價于，即，再利用導數研究即可.

試題解析：

（1）因為

令得或；令，得

所以在上遞增，在上遞減

要使在為單調函數，則

所以的取值范圍為

（2）證：因為在上遞增，在上遞減，

所以在處取得權小值

又，所以在的最小值為

從而當時， ，即

（3）等價于

即

記，則

由 得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增

所以

對任意正實數恒成立，

等價于，

即

記，則

所以在上單調遞減，

又

所以的最大值為6