【題目】已知圓
：
，過
且與圓相切的動圓圓心為
.
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）已知過點的兩直線
和
互相垂直，且直線交曲線于
，
兩點，直線交曲線于
，
兩點（，，，為不同的四個點），求四邊形
的面積的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）設動圓半徑為
，判斷圓
與圓
內切，從而可得
，
，由橢圓定義可知，點的軌跡
是以、
為焦點，實軸長為4的橢圓，根據橢圓的標準方程即可求解.
（2）分類討論若
或
的斜率不存在，求出四邊形
的面積；若兩條直線的斜率都存在，設的斜率為
，則的斜率為
，根據點斜式求出、的方程，將直線方程與橢圓方程聯立，利用弦長公式求出
，由
，利用基本不等式即可求解.
解：（1）設動圓半徑為，由于在圓內，故圓與圓內切，
則，，∴
，
由橢圓定義可知，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為4的橢圓，
，
，
，
∴軌跡的方程為.
（2）若或的斜率不存在，四邊形的面積
，
若兩條直線的斜率都存在，設的斜率為，則的斜率為，
則的方程為
，的方程為
，
聯立方程組
，得
，
由韋達定理得
，
，
，
設
，
，則
，
同理可得
，
∴
，
當且僅當
，即
時等號成立.
∵
，因此當時，四邊形的面積取得最小值為.
另解一：
.
當
即時等號成立.
另解二：也可以令
換元求解.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2016年“一帶一路”沿線64個國家GDP之和約為12.0萬億美元，占全球GDP的
；人口總數約為32.1億，占全球總人口的
；對外貿易總額（進口額＋出口額）約為71885.6億美元，占全球貿易總額的
.
2016年“一帶一路”沿線國家情況
人口（萬人） | GDP（億美元） | 進口額（億美元） | 出口額（億美元） | |
蒙古 | 301.4 | 116.5 | 38.7 | 45.0 |
東南亞11國 | 63852.5 | 25802.2 | 11267.2 | 11798.6 |
南亞8國 | 174499.0 | 29146.6 | 4724.1 | 3308.5 |
中亞5國 | 6946.7 | 2254.7 | 422.7 | 590.7 |
西亞、北非19國 | 43504.6 | 36467.5 | 9675.5 | 8850.7 |
東歐20國 | 32161.9 | 26352.1 | 9775.5 | 11388.4 |
關于“一帶一路”沿線國家2016年狀況，能夠從上述資料中推出的是（ ）
A.超過六成人口集中在南亞地區
B.東南亞和南亞國家GDP之和占全球的
以上
C.平均每個南亞國家對外貿易額超過1000億美元
D.平均每個東歐國家的進口額高于平均每個西亞、北非國家的進口額
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2
，點E、F、M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點，過點M的平面α與平面DEF平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個幾何圖形．
（1）在圖1中，畫出這個幾何圖形，并求這個幾何圖形的面積（不必說明畫法與理由）
（2）在圖2中，求證：D1B⊥平面DEF．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線C:
(
)的焦點F到直線
的距離為
．AB是過拋物線C焦點F的動弦，O是坐標原點，過A，B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于點P．
（1）求證:
．
（2）若動弦AB不經過點
，直線AB與準線l相交于點N，記MA，MB，MN的斜率分別為
，
，
．問:是否存在常數λ，使得
在弦AB運動時恒成立?若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“
猜想”是指對于每一個正整數
,若為偶數,則讓它變成
;若為奇數,則讓它變成
.如此循環,最終都會變成
,若數字
按照以上的規則進行變換,則變換次數為偶數的頻率是( )
A.
B.
C.
D.
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