【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）證明：當
時，函數
有三個零點.
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】
（1）求出函數
的解析式，求導，分
、
及
解關于導函數的不等式即可得出函數的單調區間；
（2）易知函數
的零點就是函數的零點，結合（1）的結論以及零點存在性定理即可得證．
（1）
，
.
①當時，
，
當
時，
，當
時，
.
函數的單調遞增區間為
，
，單調遞減區間為
；
②當時，
，
，則函數在
上為增函數；
③當時，
，
當
，，當
，.
函數的單調遞增區間為
，
，單調遞減區間為
；
綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；
當時，函數的單調遞增區間為
，無單調減區間；
當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；
（2）
，函數的零點就是函數的零點，
當
時，由（1）知函數在，上單調遞增，在上單調遞減.
當
時，函數單調遞增，
因為
，
，
令
，
則
，
，
，函數
在
上單調遞減，
，
所以，存在
，使得
，
所以，函數在上有
個零點
；
當，為減函數，極小值點
，且
，
所以，函數在有個零點
；
當
，函數為增函數，
，
，
存在
，使得
，所以函數在有1個零點
.
綜上，當時，函數有三個零點，即函數有三個零點.
教材全解字詞句篇系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】九龍坡區圍繞大力發展高新技術產業、推進高質量城市管理、創造高品質人民生活，建設宜居、宜業、宜游的“三高九龍坡、三宜山水城”的總愿景，全面開啟新時代的新夢想、新征程.熱心網友“我是坡民”通過問卷，對近五年游客滿意度排在前三名的區內景點進行了統計，結果如表一.根據此表，他又對游覽過熱門景點重慶動物園的100名游客進行滿意度調查，給景點打分，滿分為100分，得分超過90分的為“特別滿意”，其余為“基本滿意”，將受調查游客年齡為12歲及以下的人群稱為兒童，得到
列聯表，如表二：
表一：
年份景點排名 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
1 | 重慶動物園 | 重慶動物園 | 龍門陣景區 | 彩云湖 | 彩云湖 |
2 | 華巖景區 | 華巖景區 | 重慶動物園龍 | 龍門陣景區 | 黃桷坪涂鴉街 |
3 | 巴國城 | 海蘭云天 | 黃桷坪涂鴉街 | 華巖景區 | 重慶動物園 |
表二：
特別滿意 | 基本滿意 | 合計 | |
兒童 | 40 | ||
非兒童 | 30 | ||
合計 | 60 | 100 |
（1）完成表二的列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為調查對象是否“特別滿意”與是否是兒童有關；
（2）為安排節假日出行，“我是坡民”從表一的5個年份中隨機選擇2個年份，再從這2個年份排名前三的景點中任意選擇1個景點，記選擇出的景點中“重慶動物園”出現的次數為
，求的分布列及數學期望
.
參考公式
.
參考數據：
，
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，傾斜角為
的直線
的參數方程為
（
為參數）.以坐標原點為極點，以
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程是
.
（Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線經過曲線的焦點
且與曲線相交于
兩點，設線段
的中點為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某北方村莊4個草莓基地，采用水培陽光栽培方式種植的草莓個大味美，一上市便成為消費者爭相購買的對象.光照是影響草莓生長的關鍵因素，過去50年的資料顯示，該村莊一年當中12個月份的月光照量X（小時）的頻率分布直方圖如下圖所示（注：月光照量指的是當月陽光照射總時長）.
（1）求月光照量
（小時）的平均數和中位數；
（2）現準備按照月光照量來分層抽樣，抽取一年中的4個月份來比較草莓的生長狀況，問：應在月光照量
，
，
的區間內各抽取多少個月份？
（3）假設每年中最熱的5，6，7，8，9，10月的月光照量是大于等于240小時，且6，7，8月的月光照量是大于等于320小時，那么，從該村莊2018年的5，6，7，8，9，10這6個月份之中隨機抽取2個月份的月光照量進行調查，求抽取到的2個月份的月光照量（小時）都不低于320的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數）.以坐標原點為極點，
軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）設
是曲線上任意一點，直線與兩坐標軸的交點分別為
，求
最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校為增加應屆畢業生就業機會，每年根據應屆畢業生的綜合素質和學業成績對學生進行綜合評估，已知某年度參與評估的畢業生共有2000名，其評估成績
近似的服從正態分布
．現隨機抽取了100名畢業生的評估成績作為樣本，并把樣本數據進行了分組，繪制了頻率分布直方圖：
（1）求樣本平均數
和樣本方差
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）若學校規定評估成績超過
分的畢業生可參加
三家公司的面試．
（ⅰ）用樣本平均數作為
的估計值
，用樣本標準差
作為
的估計值
，請利用估計值判斷這2000名畢業生中，能夠參加三家公司面試的人數；
（ⅱ）若三家公司每家都提供甲、乙、丙三個崗位，崗位工資表如下：
公司 | 甲崗位 | 乙崗位 | 丙崗位 |
| 9600 | 6400 | 5200 |
| 9800 | 7200 | 5400 |
| 10000 | 6000 | 5000 |
李華同學取得了三個公司的面試機會，經過評估，李華在三個公司甲、乙、丙三個崗位的面試成功的概率均為
,李華準備依次從三家公司進行面試選崗，公司規定：面試成功必須當場選崗，且只有一次機會．李華在某公司選崗時，若以該崗位工資與未進行面試公司的工資期望作為抉擇依據，問李華可以選擇公司的哪些崗位？
并說明理由．
附：
，若隨機變量
，
則
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）若
，求
在
處的切線方程；
（2）對任意的
，
恒成立，求
的取值范圍；
（3）設
，在（2）的條件下,當取最小值且
時，試比較與
在
上的大小，并證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
：
，過
且與圓相切的動圓圓心為
.
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）已知過點的兩直線
和
互相垂直，且直線交曲線于
，
兩點，直線交曲線于
，
兩點（，，，為不同的四個點），求四邊形
的面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將三棱錐
與
拼接得到如圖所示的多面體，其中
，
，
，
分別為
，
，
，
的中點，
.
（1）當點
在直線
上時，證明：
平面
；
（2）若
與
均為面積為
的等邊三角形，求該多面體體積的最大值.
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