Question

【題目】如圖，已知拋物線C:()的焦點F到直線的距離為．AB是過拋物線C焦點F的動弦，O是坐標原點，過A，B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于點P．

（1）求證:．

（2）若動弦AB不經過點，直線AB與準線l相交于點N，記MA，MB，MN的斜率分別為，，．問:是否存在常數λ，使得在弦AB運動時恒成立?若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）存在，-1

【解析】

（1）根據已知求出拋物線方程，要證，只需證明，設，，利用求導方法求出切線斜率，設出直線的方程，與拋物線方程聯立，利用根與系數關系，即可得證；

（2）設直線，求出點坐標，求出，利用關系，用表示，代入，判斷是否存在使得時等式均成立，即可得出結論.

（1）()

由已知，

故拋物線方程為

依題意，設直線AB方程為()

聯立得:

設，，

，

（2）將代入得

，

．

若有成立，則有

整理得恒成立，.

故存在成立．