Question

已知y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0）的圖象過點P（

π

12

，0）圖象上與點P最近的一個頂點是Q（

π

3

，5）．
（1）求函數的解析式；
（2）指出函數的增區間；
（3）求使y≤0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用題意在求出A，通過周期求出ω，利用函數經過的特殊點求出φ，即可求函數的解析式；
（2）通過正弦函數的單調增區間直接函數的增區間；
（3）利用正弦函數的值域，求使y≤0的x的取值范圍．

解答：解：（1）由函數圖象過一個頂點是（

π

3

，5）知A=5．
圖象過點P（

π

12

，0）圖象上與點P最近的一個頂點是Q（

π

3

，5）．
所以

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

，∴T=π，ω=2．
將Q（

π

3

，5）代入y=5sin（2x+φ）得φ=-

π

6

．
∴函數解析式為y=5sin（2x-

π

6

）．                    （4分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

．
得增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．k∈Z． 
 函數的增區間：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．k∈Z．        （8分）
（3）因為y≤0
所以5sin（2x-

π

6

）≤0     
可得 2kπ+π≤2x-

π

6

≤2kπ+2π．
x∈[kπ+

7π

12

，kπ+

13

12

π]．k∈Z．                         （12分）

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，三角函數的基本性質的應用，考查計算能力．