Question

已知y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象過點P（

π

12

，0）圖象上與點P最近的一個頂點是Q（

π

3

，5）．
（1）求函數的解析式；
（2）求使y≤0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數的圖象過兩個點，可以求出A，根據兩點之間的橫坐標之差為四分之一個周期，可以求出函數的周期，進而得到ω的值，將 (

π

3

，5)點代入求出φ值后，即可得到函數解析式．
（2）根據正弦函數的小于0的范圍，得到關于x的不等式，得到函數值小于0時的自變量的取值．

解答：解：（1）由已知點函數y=Asin（ωx+φ）的圖象過點 P(

π

12

，0)，
圖象中與點P最近的最高點是 (

π

3

，5)，
∴A=5，

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

∴T=π
∴ω=

2π

T

=2
∴y=5sin（2x+φ）
將 (

π

3

，5)代入解析式得
5=5sin（

2π

3

+φ）
∴

2π

3

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z
∴φ=-

π

6

+2kπ，k∈Z
∵|φ|＜π
令k=0，則有φ=-

π

6

∴y=5sin(2x-

π

6

)
（2）∵y=sinx的滿足y≤0的x的取值范圍是[2kπ-π，2kπ]，k∈z
∴y=5sin(2x-

π

6

)≤0時，有2x-

π

6

∈ [2kπ-π，2kπ]，
∴x∈[kπ-

5

12

π，kπ+

1

12

π](k∈Z)

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數的定義域和值域，本題解題的關鍵是根據已知條件求出A，ω，φ值，得到函數的解析式，這樣才可以求解自變量的范圍，本題是一個中檔題目．