Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）若為偶函數，求的值并寫出的增區間；

（Ⅱ）若關于的不等式的解集為，當時，求的最小值；

（Ⅲ）對任意的，，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；增區間.

(2) 的最小值為，取“”時.

(3) .

【解析】

分析：（Ⅰ）由偶函數的定義得，求出的值.再根據二次函數單調區間的判斷方法，確定的增區間；

（Ⅱ）根據已知條件結合韋達定理，求得的值.再化簡整理的表達式，結合和基本不等式即可得到答案.

（Ⅲ）先求出區間上，再將不等式恒成立，轉化為上恒成立問題，構造新函數，得恒成立，分類討論求得參數的值.

詳解：解：（Ⅰ） 為偶函數，

，即，解得.

所以，函數，對稱軸，增區間

（Ⅱ）由題知

∴

又∵，∴

∴，

即的最小值為，取“”時

（Ⅲ）∵時，

∴在恒成立

記，（）

①當時，

由，∴

②當時，

由，∴

③當時，

由，

綜上所述，的取值范圍是