Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=

1

2

，a_n=-2S_nS_n-1（n≥2）．
（1）求S₁，S₂，S₃；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求證：S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤

1

2

-

1

4n

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用a₁=

1

2

，a_n=-2S_nS_n-1，代入計算，可得S₁，S₂，S₃；
（2）確定{

1

Sn

}是以2為首項，2為公差的等差數列，可得S_n=

1

2n

，即可求數列{a_n}的通項公式；
（3）S_n²=

1

4n2

＜

1

4

（

1

n-1

-

1

n

）（n≥2），利用疊加法，即可得出結論．

解答： （1）解：∵a₁=

1

2

，a_n=-2S_nS_n-1，
∴S₁=

1

2

，S₂=

1

4

，S₃=

1

6

；
（2）解：∵a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2為首項，2為公差的等差數列．
∴

1

Sn

=2n，
∴S_n=

1

2n

，
∴n≥2時，a_n=

1

2n-2n2

，
∴a_n=

1 2 ，n=1 1 2n-2n2 ，n≥2

（3）證明：∵S_n²=

1

4n2

＜

1

4

（

1

n-1

-

1

n

）（n≥2）
∴n≥2時，S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²＜

1

4

+

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

n-1

-

1

n

）=

1

2

-

1

4n

，
n=1時，S₁²=

1

2

-

1

4•1

，
綜上，S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤

1

2

-

1

4n

．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查數列與不等式的綜合，考查學生分析解決問題的能力，確定數列的通項是關鍵．