Question

已知函數f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2處的切線的斜率為1．（e為無理數，e=271828…）
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）≥mx²，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：

n

i=2

lni

i4

＜

1

2e

（i，n∈N₊）．（參考數據：ln2≈0.6931）

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數與曲線的關系求得a，再利用導數判斷函數的單調性求得最小值；
（2）令g（x）=f（x）-mx²，利用導數求得g（x）的最小值，即可得出結論；
（3）構造函數p（x）=

lnx

x2

，利用導數求得函數的最大值，即

lnx

x2

≤

1

2e

，故

lnn

n4

≤

1

2e

•

1

n2

（n≥2），利用不等式放縮及裂項相消法即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵函數f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2處的切線的斜率為1，
∴f′（ln2）=2-a=1，
∴a=1，
∴f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
∴x＜0時，f′（x）＜0，x＞0時，f′（x）＞0，
∴x=0時，函數有極小值，即為最小值，最小值為0；
（Ⅱ）解：令g（x）=f（x）-mx²，則g′（x）=e^x-1-2mx，
設h（x）=g′（x）=e^x-1-2mx，則h′（x）=e^x-2m，
①m≤

1

2

時，h′（x）≥0，h（x）≥h（0）=0，∴g′（x）≥0，∴g（x）≥g（0）=0，滿足題意；
②m＞

1

2

時，x∈[0，ln2m）時，h′（x）＜0，h（x）是減函數，h（x）≤h（0）=0，∴g（x）是減函數，∴g（ln2m）≤g（0）=0，不滿足題意；
綜上所述，m的取值范圍是[

1

2

，+∞）．
（Ⅲ）證明：令p（x）=

lnx

x2

，∴p′（x）=

1-2lnx

x3

，由p′（x）=0得，x=

e

，
∴當x=

e

時函數P（x）有最大值p（

e

）=

1

2e

，∴

lnx

x2

≤

1

2e

，
∴

lnn

n4

≤

1

2e

•

1

n2

（n≥2），
∴

n

i=2

lni

i4

＜

1

2e

•（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜

1

2e

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=

1

2e

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=

1

2e

（1-

1

n

）＜

1

2e

，
即

n

i=2

lni

i4

＜

1

2e

．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的切線問題、研究函數的單調性最值等知識，考查不等式的證明方法放縮法及裂項求和法，考查學生的計算能力，屬難題．