Question

已知點P（x，y）是橢圓

x2

4

+

y2

9

=1上的一個動點，則點P到直線2x+y-10=0的距離的最小值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,兩條平行直線間的距離

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設與直線2x+y-10=0平行的直線方程為：2x+y+c=0，與橢圓方程聯立，消元，令△=0，可得c的值，求出兩條平行線間的距離，即可求得橢圓

x2

4

+

y2

9

=1上一點P到直線2x+y-10=0的距離最小值．

解答： 解：設與直線2x+y-10=0平行的直線方程為：2x+y+c=0，
與橢圓方程聯立，消元可得25x²+16cx+4c²-36=0
令△=256c²-100（4c²-36）=0，可得c=±5．
∴兩條平行線間的距離為

|±5-10|

5

=3

5

或

5

．
∴點P到直線2x+y-10=0的距離的最小值為

5

．
故答案為：

5

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是求出與直線2x+y-10=0平行，且與橢圓相切的直線方程．