Question

已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿直線BD將△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求證：C′D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直線BD與平面BEC′所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-BE-C′的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據線面垂直的判定定理即可證明C′D⊥平面ABD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求直線BD與平面BEC′所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-BE-C′的余弦值．

解答： 證明：（Ⅰ）平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直線BD將△BCD翻折成△BC′D
可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即C′B²=C′D²+BD²，
∴C′D⊥BD，
∵平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD=BD，C′D?平面BC′D，
∴C′D⊥平面ABD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，
如圖，以D為原點，
建立空間直角坐標系D-xyz．
則D（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C（0，0，6）．
∵E是線段AD的中點，
∴E（4，3，0），

BD

=(-8，0，0)．
在平面BEC′中，

BE

=(-4，3，0)，

BC′

=(-8，0，6)，
設平面BEC′法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

BE • n =0 BC′ • n =0

，即

-4x+3y=0 -8y+6z=0

，
令x=3，得y=4，z=4，故

n

=(3，4，4)，
設直線BD與平面BEC′所成角為θ，則sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=

| n • BD |

| n |•| BD |

=

3 41

41

．
∴直線BD與平面BEC′所成角的正弦值為

3 41

41

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BEC′的法向量為

n

=（3，4，4），
而平面DBE的法向量為

DC′

=(0，0，6)，
∴cos＜

n

，

C′D

＞=

n • C′D

| n |•| C′D |

=

4 41

41

，
∵二面角D-BE-C′為銳角，
∴二面角D-BE-C′的余弦值為

4 41

41

．

點評：本題主要考查線面垂直的判斷，以及直線和平面所成的角，二面角的大小，建立坐標系利用向量法是解決本題的關鍵．