Question

如圖，在△OAB中，已知|

OA

|=2，|

OB

|=2

3

，∠AOB=90°，單位圓O與OA交于C，

AD

=λ

AB

，λ∈(0，1)，P為單位圓O上的動點．
（1）若

OD

=

3

4

OA

+

1

4

OB

，求λ的值；
（2）若

OC

+

OP

=

OD

，求

OC

•

OP

的值．

Answer 1

分析：（1）由題意，可得

OD

=

OA

+

AD

=

OA

+λ

AB

，再將

OD

表示為(1-λ)

OA

+λ

OB

，于是由平面向量基本定理可以得出λ所滿足的方程，解出它的值；
（2）由題意，可O為原點，OA為x軸，OB為y軸建立直角坐標系，利用向量的坐標運算求出兩向量

OC

，

OP

的坐標，再由向量的數量積運算求出

OC

•

OP

的值．

解答：解：（1）由題意，如圖

OD = OA + AD = OA +λ AB

=

OA

+λ(

OB

-

OA

)=(1-λ)

OA

+λ

OB

又

OD

=

3

4

OA

+

1

4

OB

∴λ=

1

4

（2）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸建立直角坐標系
記∠POA=α則P(cosα，sinα)，A(2，0)，B(0，2

3

)，C(1，0)

OD

=

OA

+λ

AB

=(2(1-λ)，2

3

λ)
由

OC

+

OP

=

OD

得

cosα+1=2(1-λ) sinα=2 3 λ

整理得16λ²-4λ=0解得λ=0（舍），λ=

1

4

∴

OP

=

OD

-

OC

=(

3

2

，

3

2

)-(1，0)=(

1

2

，

3

2

)
則

OC

•

OP

=

1

2

…（2分）

點評：本題考點為向量在幾何中的應用，考查平面向量基本定理，向量的數量積表示，向量的線性運算，解題的關鍵是理解題意，選擇恰當的方法求值，第一小題關鍵是理解平面向量基本定理的意義，由在基底上的分解是唯一的得出參數的方程求參數，第二小題關鍵是依據題設條件建立坐標系，利用向量的坐標表示計算兩向量的內積，本題考察了議程的思想，數形結合的思想，是向量中經典題型