Question

如圖，在△OAB中，延長BA到C，使AC=BA，在OB上取點D，使DB=

1

3

OB，DC與OA交于E，設

OA

=

a

，

OB

=

b

，用

a

，

b

表示向量

OC

，

DC

，

DE

．

Answer 1

分析：由

OA

=

1

2

（

OB

+

OC

）求出

OC

；根據

DC

=

OC

-

OD

求得結果；由于D、E、C三點共線，可得

DE

=λ•

DC

=2λ

a

+

5

3

λ

b

，再由

DE

=

DO

+

OE

=-

2

3

b

+μ

a

，故有2λ

a

+

5

3

λ

b

=-

2

3

b

+μ

a

，解出λ和μ的值，即可求得

DE

．

解答：解：因為A是BC的中點，所以

OA

=

1

2

（

OB

+

OC

），∴

OC

=2

OA

-

OB

=2

a

-

b

．
∴

DC

=

OC

-

OD

=2

a

-

b

-

2

3

b

=2

a

-

5

3

b

．
由于D、E、C三點共線，
∴

DE

=λ•

DC

=λ（2

a

-

5

3

b

）=2λ

a

+

5

3

λ

b

．
由于

DE

=

DO

+

OE

=-

2

3

OB

+μ

OA

=-

2

3

b

+μ

a

．
∴2λ

a

+

5

3

λ

b

=-

2

3

b

+μ

a

，故有 2λ=μ，

5

3

λ=-

2

3

．
解得 λ=

2

5

，μ=

4

5

．
∴

DE

=

4

5

a

-

2

3

b

．

點評：本題考查平面向量基本定理及向量的表示，兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，屬于中檔題．