Question

（2013•杭州二模）如圖，在△OAB中，C為OA上的一點，且

OC

=

2

3

OA

，D是BC的中點，過點A的直線l∥OD，P是直線l上的任意點，若

OP

=λ1

OB

+λ2

OC

，則λ₁-λ₂=

-

3

2

．

Answer 1

分析：根據OD是△OBC的中線，得

OD

=

1

2

OB

+

1

2

OC

．由直線l∥OD，可得存在實數k使

AP

=k

OD

，再化簡得到

OP

=

OA

+

AP

=

k

2

OB

+（

3

2

+

k

2

）

OC

，結合已知等式可得

k

2

=λ₁且

3

2

+

k

2

=λ₂，由此即可算出則λ₁-λ₂的值．

解答：解：∵D是BC的中點，∴

OD

=

1

2

OB

+

1

2

OC

∵

OC

=

2

3

OA

，∴

OA

=

3

2

OC

∵直線l∥OD，∴存在實數k，使

AP

=k

OD

，
因此，

OP

=

OA

+

AP

=

3

2

OC

+k

OD

=

3

2

OC

+k（

1

2

OB

+

1

2

OC

）=

k

2

OB

+（

3

2

+

k

2

）

OC

，
∵由已知，得

OP

=λ1

OB

+λ2

OC

∴根據平面向量基本定理，得

k

2

=λ₁且

3

2

+

k

2

=λ₂
因此，λ₁-λ₂=

k

2

-（

3

2

+

k

2

）=-

3

2

故答案為：-

3

2

點評：本題在△OAB中，給出邊的三等分點C和△OBC的中線OD，探索向量

OP

表示成

OB

、

OC

的線性組合問題，著重考查了平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及其意義等知識，屬于中檔題．