Question

如圖，在△OAB中，已知P為線段AB上的一點，且|

AP

|=2|

PB

|．
（Ⅰ）試用

OA

，

OB

表示

OP

；
（Ⅱ）若|

OA

|=3，

|OB|

=2，且∠AOB=60°，求

OP

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（I）由題意，根據向量的三角形法則由

AP

=2

PB

，變形為關于

OA

，

OB

，

OP

的方程，從中解出

OP

的表達式即可；
（II）由（I）

OP

=

1

3

OA

+

2

3

OB

，可將

OP

•

AB

用

OB

，

OA

數量積表示出來，再由|

OA

|=3，

|OB|

=2，且∠AOB=60°，計算出

OP

•

AB

的值

解答：解：（I）∵P是線段AB上的一點，且|

AP

|=2|

PB

|．
∴

AP

=2

PB

．
即有

OP

-

OA

=2(

OB

-

OP

)
∴

OP

=

1

3

OA

+

2

3

OB

（II）由（I）知

OP

=

1

3

OA

+

2

3

OB

OP

•

AB

=（

1

3

OA

+

2

3

OB

）•（

OB

-

OA

）
=-

1

3

OA

2-

1

3

OB

•

OA

+

2

3

OB

2
=-

1

3

×9-

1

3

×3×2cos60°+

2

3

×4
=-

4

3

點評：本題考點是向量在幾何中的應用，綜合考查了向量三角形法則，向量的線性運算，向量的數量積的運算及數量積公式，熟練掌握向量的相關公式是解題的關鍵，本題是向量基本題，計算題