Question

【題目】已知函數（為常數）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為.

（1）求的值及函數的極值；

（2）證明：當時，；

（3）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當時，恒有.

Answer 1

【答案】（1）；極小值為，無極大值（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）由導數的幾何意義得，可構造方程求得；根據導函數的正負可確定的單調性，由此確定函數有極小值，無極大值；

（2）令，由（1）可得，可知單調遞增；結合，則當時，，由此證得結論；

（3）取，由（2）可知當時，，由此可得結論.

（1），，，解得：

，.

當時，；當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增.

在處取得極小值，

極小值為，無極大值.

（2）令，則.

由（1）得：，即，在上單調遞增.

又，當時，，即.

（3）對任意給定的正數c，取.

由（2）知：當時，.

當時，，即.

對任意給定的正數c，總存在，當時，恒有.