Question

【題目】已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同時滿足條件：
①x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
則m的取值范圍是

Answer 1

【答案】（﹣4，﹣2）
【解析】解：對于①∵g（x）=2x﹣2，當x＜1時，g（x）＜0，
又∵①x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1時恒成立
則由二次函數的性質可知開口只能向下，且二次函數與x軸交點都在（1，0）的左面
則
∴﹣4＜m＜0即①成立的范圍為﹣4＜m＜0
又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0
∴此時g（x）=2x﹣2＜0恒成立
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，則只要﹣4比x1 ， x2中的較小的根大即可，
（i）當﹣1＜m＜0時，較小的根為﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，
（ii）當m=﹣1時，兩個根同為﹣2＞﹣4，不成立，
（iii）當﹣4＜m＜﹣1時，較小的根為2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．
綜上可得①②成立時﹣4＜m＜﹣2．
故答案為：（﹣4，﹣2）．

①由于g（x）=2x﹣2≥0時，x≥1，根據題意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1時成立，根據二次函數的性質可求
②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，則f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）時成立，結合二次函數的性質可求