Question

【題目】如圖，橢圓E： 的左焦點為F1 ， 右焦點為F2 ， 離心率e= ．過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q．試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8．
∴4a=8，∴a=2
∵e= ，∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴橢圓E的方程為 ．
（Ⅱ）由 ，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P（x0 ， y0）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此時x0= = ，y0= ，即P（ ， ）
由 得Q（4，4k+m）
取k=0，m= ，此時P（0， ），Q（4， ），以PQ為直徑的圓為（x﹣2）2+（y﹣ ）2=4，交x軸于點M1（1，0）或M2（3，0）
取k=- ，m=2，此時P（1， ），Q（4，0），以PQ為直徑的圓為（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ，交x軸于點M3（1，0）或M4（4，0）
故若滿足條件的點M存在，只能是M（1，0），證明如下
∵
∴
故以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點M（1，0）
方法二：
假設平面內存在定點M滿足條件，因為對于任意以PQ為直徑的圓恒過定點M，所以當PQ平行于x軸時，圓也過定點M，即此時P點坐標為（0， ）或（0，﹣ ），由圖形對稱性知兩個圓在x軸上過相同的交點，即點M必在x軸上．設M（x1 ， 0），則 =0對滿足①式的m，k恒成立．
因為 =（ ﹣x1 ， ），
=（4﹣x1 ， 4k+m），由 =0得﹣ + ﹣4x1+x12+ +3=0，
整理得（4x1﹣4） +x12﹣4x1+3=0．②
由于②式對滿足①式的m，k恒成立，所以 ，解得x1=1．
故存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點M．
【解析】（Ⅰ）根據過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8，可得4a=8，即a=2，利用e= ，b2=a2﹣c2=3，即可求得橢圓E的方程．（Ⅱ）由 ，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P（x0 ， y0），可得m≠0，△=0，進而可得P（ ， ），由 得Q（4，4k+m），取k=0，m= ；k=- ，m=2，猜想滿足條件的點M存在，只能是M（1，0），再進行證明即可．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．