Question

【題目】如圖，在四面體A-BCD中，AD平面BCD,BCCD,CD=2,AD=4.M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC.

(I)證明：PQ//平面BCD;

(II)若異面直線PQ與CD所成的角為，二面角C-BM-D的大小為，求cos的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（1）連并延長交于，連過作交于，由三角形中位線定理以及全等三角形的性質可得 ，結合條件推導出，由此能證明平面；（2）過作于，作于，連，可證明 平面 ，可得，即為二面角的平面角，由直角三角形的性質可求出的值.

試題解析：（1）證明：如圖，連AP并延長交BD于E，連CE，

過M作MN∥BD交AP于N，則AN=NE，NP=PE．

故AP=3PE，從而PQ∥CE．

因PQ平面BCD，CE平面BCD，

故PQ∥平面BCD．

（2）解：過C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，連FR．

因AD⊥平面BCD，故平面ABD⊥平面BCD，

故CF⊥平面ABD，因此CF⊥BM，從而BM⊥平面RCF，

所以∠CRF=θ即為二面角C﹣BM﹣D的平面角．

因PQ∥CE，故∠DCE=45°，因此CE即為∠BCD的角平分線．

由 （1）知DE=2MN=2EB，故DC=2BC，

從而BC=1，．

由題意知BC⊥平面ACD，故BC⊥CM．

由題意知，故．

所以=，從而．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角及其平面角，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.