Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，設橢圓 =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 右頂點為A，上頂點為B，離心率為e．橢圓上一點C滿足：C在x軸上方，且CF1⊥x軸．

（1）若OC∥AB，求e的值；
（2）連結CF2并延長交橢圓于另一點D若 ≤e≤ ，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：橢圓 =1（a＞b＞0）的焦距為2c，

由CF1⊥x軸．則C（﹣c，y0），y0＞0，

由C在橢圓上，則y0= ，則C（﹣c， ），

由OC∥AB，則﹣ =kOC=kAB=﹣ ，則b=c，

e= = = ，

e的值

（2）

解：設D（x1，y1），設 =λ ，

C（﹣c， ），F2（c，0），

故 =（2c，﹣ ）， =（x1﹣c，y1），

由 =λ ，則2c=λ（x1﹣c），﹣ =λy1，則D（ c，﹣ ），

由點D在橢圓上，則（ ）2e2+ =1，整理得：（λ2+4λ+3）e2=λ2﹣1，

由λ＞0，e2= = =1﹣ ，

由 ≤e≤ ，則 ≤e2≤ ，則 ≤1﹣ ≤ ，

解得： ≤λ≤5，

∴ 的取值范圍[ ，5]

【解析】（1）由CF1⊥x軸．則C（﹣c， ），根據直線的斜率相等，即可求得b=c，利用離心率公式即可求得e的值；（2）根據向量的坐標運算，求得D點坐標，代入橢圓方程，求得e2= =1﹣ ，由離心率的取值范圍，即可求得λ的取值范圍．