Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，直線l過點M（4，0）．
（Ⅰ）若點F到直線l的距離為，求直線l的斜率；
（Ⅱ）設A，B為拋物線上兩點，且AB不與x軸重合，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，x=4不合題意．設直線l的方程為y=k（x-4），
由已知，拋物線C的焦點坐標為（1，0），…（1分）
因為點F到直線l的距離為，
所以，…（3分）
解得，所以直線l的斜率為．…（5分）
（Ⅱ）設線段AB中點的坐標為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為AB不垂直于x軸，
則直線MN的斜率為，
直線AB的斜率為，…（7分）
直線AB的方程為，…（8分）
聯立方程
消去x得，…（10分）
所以，…（11分）
因為N為AB中點，
所以，即，…（13分）
所以x₀=2．即線段AB中點的橫坐標為定值2．…（14分）
分析：（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（x-4），由已知，拋物線C的焦點坐標為（1，0），因為點F到直線l的距離為，所以，由此能求出直線l的斜率．
（Ⅱ）設線段AB中點的坐標為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為AB不垂直于x軸，所以直線MN的斜率為，直線AB的斜率為，直線AB的方程為，由此能夠證明線段AB中點的橫坐標為定值．
點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．本題的易錯點是計算量大，容易出錯．