Question

某公司生產A，B，C三款手機，每款均有標準型和豪華型兩種型號，某月的產量如表所示（單位：臺）．

	A	B	C
標準型	100	150	z
豪華型	300	450	600

按款分層抽樣的方法在本月生產的手機中抽取50臺，其中A款抽到了10臺．
（1）求z；
（2）用分層抽樣的方法在C款中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2臺，求至少有一臺標準型手機的概率；
（3）用隨機抽樣的方法從B款手機中抽取8臺檢測性能，經檢測它們的評分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2．把這8臺手機的評分看成一個整體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值超過0.5的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,分層抽樣方法

專題：導數的概念及應用

分析：（1）求出抽取的產品中，C款手機的數量，即可求z的值；
（2）先利用分層抽樣滿足每個個體被抽到的概率相等，求出抽取一個容量為5的樣本中標準型手機的臺數，利用列舉的方法求出至少有一臺標準型手機的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．
（3）利用平均數公式求出數據的平均數，通過列舉得到該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的數據，利用古典概型的概率公式求出概率．

解答： 解：（1）抽取的轎車中，C款手機的數量為50-10-15=25，則

100+300

z+600

=

10

25

，則z=400；
（2）設所抽樣本中有m臺標準型手機，豪華型，
因為用分層抽樣的方法在C款手機中抽取一個容量為5的樣本，
所以

400

1000

=

m

5

，解得m=2，
也就是抽取了2臺標準型手機，3臺豪華型手機，分別記作S₁，S₂；B₁，B₂，B₃，
則從中任取2輛的所有基本事件為（S₁，B₁），（S₁，B₂），（S₁，B₃） 
（S₂，B₁），（S₂，B₂），（S₂，B₃），
（S₁，S₂），（B₁，B₂），（B₂，B₃），（B₁，B₃）共10個，
其中至少有一臺標準型手機的基本事件有7個基本事件：
（S₁，B₁），（S₁，B₂），（S₁，B₃） 
（S₂，B₁），（S₂，B₂），（S₂，B₃），（S₁，S₂），
所以從中任取2輛，至少有一臺標準型手機的概率為

7

10

；
（3）樣本的平均數為

.

x

=

1

8

×（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9，
那么與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的數為9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0這6個數，總的個數為8，
所以該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率為

6

8

=0.75．

點評：本題考查分層抽樣，考查求古典概型的事件的概率，求古典概型的事件的概率時，首先一個求出各個事件包含基本事件的個數，求基本事件個數的方法常用的有：列舉法、排列、組合的方法、圖表法．