Question

【題目】若對任意實數都有函數的圖象與直線相切，則稱函數為“恒切函數”，設函數，其中.

（1）討論函數的單調性；

（2）已知函數為“恒切函數”，

①求實數的取值范圍；

②當取最大值時，若函數也為“恒切函數”，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）①設切點為，求出，設，根據函數的單調性求出故實數的取值范圍為；②當取最大值時，，，，，，因為函數也為“恒切函數”，故存在，使得，，由得，，設，，根據函數的單調性證明即可.

詳解：（1）.當時，恒成立，函數在上單調遞減；

當時，得，由得，由得，

得函數在上單調遞減，在上遞增.

（2）①若函數為“恒切函數”，則函數的圖象與直線相切，

設切點為，則且，即，.

因為函數為“恒切函數”，所以存在，使得，，即，得，，設.

則，，得，得，

故在上單調遞增，在上單調遞減，從而

故實數的取值范圍為.

②當取最大值時，，，，，

，因為函數也為“恒切函數”，故存在，使得，，由得，，設，

則，得，得，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

1.在單調遞增區間上，，故，由，得；

2. 在單調遞增區間上，，

，又的圖象在上不間斷，

故在區間上存在唯一的，使得，故.

此時由，得，

函數在上遞增，，，故.

綜上所述，.