Question

【題目】(2016·重慶高二檢測)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點.

(1)證明：平面BDC1⊥平面BDC.

(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）1:1

【解析】試題分析：（1）由題意易證平面，再由面面垂直的判定定理即可得平面平面；（2）設棱錐的體積為，易求，三棱柱的體積為，于是可得，從而得到答案．

試題解析：（1）證明：由題設知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，

所以BC⊥平面ACC1A1．

又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC．

由題設知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，

所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC．

又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC．

又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC．

（2）設棱錐B—DACC1的體積為V1，AC＝1．

由題意得V1＝××1×1＝．

又三棱柱ABC—A1B1C1的體積V＝1，

所以（V－V1）∶V1＝1∶1．

故平面BDC1分此棱柱所得兩部分體積的比為1∶1．