Question

【題目】已知橢圓（）與拋物線（）共交點，拋物線上的點到軸的距離等于，且橢圓與拋物線的交點滿足.

（1）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（2）國拋物線上的點做拋物線的切線交橢圓于兩點，設線段的中點為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）根據題意及拋物線的定義可得是拋物線的準線，從而得到，解得后可得方程；由題意得點的坐標為，然后根據橢圓的定義得到，又，故得，于是可得橢圓的方程．（2）由直線與拋物線相切并結合判別式可得；再根據直線與橢圓相交可得，又，可得.根據根與系數的關系得到 .又，故得，于是得到的取值范圍是．

（1）∵拋物線上的點到軸的距離等于，

∴點到直線的距離等于點到交點的距離，

∴直線是拋物線的準線，

∴.

解得，

∴拋物線的方程為．

由題意得橢圓的右焦點，左焦點，

由得，

∴，

又，

可得點的坐標為.

由橢圓的定義得，

，

又，

∴，

∴橢圓的方程為．

（2）顯然，，

由，消去整理得，

由題意知，解得．

由，消去整理得，

即，

其中 ，

∴，

又，得，

解得.

設，，

則，

則 .

又，

∴.

∴的取值范圍是.