Question

圓C₁的方程為(x-3)2+y2=

4

25

，圓C₂的方程(x-3-

1-t2

1+t2

)2+(y-

2t

1+t2

)2=

1

25

（t∈R），過(guò)C₂上任意一點(diǎn)作圓C₁的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、N，設(shè)PM與PN夾角的最大值為θ，則（　　）

• A、θ=

  π

  6

• B、θ=

  π

  3

• C、θ=

  π

  2

• D、θ與t的取值有關(guān)

Answer 1

分析：由圓C₂的方程找出圓心所在曲線的參數(shù)方程，化為普通方程，在坐標(biāo)系找出畫出圓心C₂所在的軌跡，找出特殊位置C₂在x軸上時(shí)，圓C₂與x軸右邊交于A點(diǎn)，同時(shí)畫出圓C₁的圖象，過(guò)A作圓C₁的兩條切線AM和AN，切點(diǎn)分別為M和N，在直角三角形AC₁M中，根據(jù)直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半得到這條直角邊所對(duì)的角為30°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠MAN的度數(shù)即為AM與AN夾角的最大值為θ的度數(shù)．

解答：解：由圓C₂的方程得到圓心所在曲線的參數(shù)方程為

x=3+ 1-t2 1+t2 y= 2t 1+t2

，
化為普通方程為（x-3）²+y²=1，又圓C₁的方程為(x-3)2+y2=

4

25

，
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

∵在Rt△AMC₂中，|MC₂|=

2

5

，|AC₁|=1-

1

5

=

4

5

，即|AC₁|=2|MC₂|，
∴∠MAC₁=

π

6

，即∠MAN=

π

3

，
則PM與PN夾角的最大值為θ為

π

3

．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的參數(shù)方程，兩直線夾角到角的問(wèn)題，直角三角形的性質(zhì)，以及切線的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，其中找出圓C₂上的點(diǎn)P在點(diǎn)A位置時(shí)，AM與AN夾角的最大值為θ是解本題的關(guān)鍵．