Question

如圖，已知圓C₁的方程為(x-2)2+(y-1)2=

20

3

，橢圓C₂的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），C₂的離心率為

2

2

，如果C₁與C₂相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C₁的直徑，求直線AB的方程和橢圓C₂的方程．

Answer 1

分析：由e=

2

2

得，b²=c²，設橢圓方程為：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得圓心C₁（2，1）為AB中點，A，B均在橢圓C₂上，

x12

2b2

+

y12

b2

=1，

x22

2b2

+

y22

b2

=1，兩式相減得：

4(x1-x2)

2b2

+

2(y1-y2)

b2

=0，kAB=

y1-y2

x1-x2

=-1，再由根的判別式結合題設條件可求出直線AB的方程和橢圓C₂的方程．

解答：由e=

2

2

得

c

a

=

2

2

，
∴a²=2c²，b²=c²，
設橢圓方程為：

x2

2b2

+

y2

b2

=1（2分）
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得圓心C₁（2，1）為AB中點，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
又A，B均在橢圓C₂上，
∴

x12

2b2

+

y12

b2

=1，

x22

2b2

+

y22

b2

=1，
兩式相減得：

(x1+x2)(x1-x2)

2b2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0
即

4(x1-x2)

2b2

+

2(y1-y2)

b2

=0
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=-1，
即直線AB的方程為y-1=-（x-2）即x+y-3=0（6分）
將y=-x+3代入

x2

2b2

+

y2

b2

=1得3x²-12x+18-2b²=0（9分）
∴x1+x2=4，x1x2=

18-2b2

3

由直線AB與橢圓C₂相交，
∴△=12²-12（18-2b²）=24b²-72＞0即b²＞3，
又|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=2•

20 3

（11分）
即16-4•

18-2b2

3

=

40

3

解得b²=8，故所求的橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1（13分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，合理解答，注意公式的合理運用．