Question

（2013•廣州二模）設a_n是函數f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零點．
（1）證明：0＜a_n＜1；
（2）證明：

n

n+1

＜a1+a2+…+an＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）先計算f（0）＜0，f（1）＞0，且f（x）在R上的圖象是一條連續曲線，根據零點存在定理得f（x）在（0，1）內有零點，再根據其導數為正，得出f（x）在（0，1）上是增函數，f（x）在（0，1）內只有一個零點，而a_n是函數f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零點，從而證明出0＜a_n＜1；
（2）分兩部分進行證明．先證明左邊的不等式，由（1）知0＜a_n＜1，得a_n＞

1

n2+1

，利用放縮法及裂項法可得a₁+a₂+…+a_n＞1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

；再證明右邊的不等式，由于a_n=

1- a 2 n

n2

＜

1

n2

，當n≥2時，可得a₁+a₂+…+a_n＜

3

4

+

1

22

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1+

1

2

-

1

n

＜

3

2

．綜上可得

n

n+1

＜a1+a2+…+an＜

3

2

．

解答：解：（1）∵f（0）=-1＜0，f（1）=n²＞0，且f（x）在R上的圖象是一條連續曲線，
∴f（x）在（0，1）內有零點，
∵f′（x）=3x²+n²＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函數，f（x）在（0，1）內只有一個零點，
而a_n是函數f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零點，
∴0＜a_n＜1；
（2）先證明左邊的不等式，因a_n³+n²a_n-1=0，由（1）知0＜a_n＜1，
∴a

3 n

＜a_n，即1-n²a_n=a

3 n

＜a_n．
∴a_n＞

1

n2+1

，∴a₁+a₂+…+a_n＞

1

12+1

+

1

22+1

+…+

1

n2+1

①
∵a_n＞

1

n2+1

≥

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n＞1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
再證明右邊的不等式，由于f（

1

2

）=(

1

2

)3+

1

2

-1=-

3

8

＜0，f（

3

4

）=

11

64

＞0，
∴

1

2

＜a₁＜

3

4

，
由（1）知，0＜a_n＜1，且a_n³+n²a_n-1=0，
∴a_n=

1- a 2 n

n2

＜

1

n2

，
∵當n≥2時，a₁+a₂+…+a_n＜

3

4

+

1

22

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1+

1

2

-

1

n

＜

3

2

，
∴當n∈N^*時，a₁+a₂+…+a_n＜

3

2

，
綜上，

n

n+1

＜a1+a2+…+an＜

3

2

．

點評：本小題主要考查零點、函數單調性的應用、數列與函數的綜合、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于較難題．